SVD (Singular Value Decomposition) est une technique fondamentale dans le domaine de l'algèbre linéaire et de l'analyse des données. Il s'agit d'une décomposition matricielle qui permet de représenter une matrice sous une forme plus simple et plus informative.
La décomposition en valeurs singulières implique de décomposer une matrice A (de taille m x n) en trois composantes principales : U, Σ et V. U est une matrice orthogonale de taille m x m, Σ est une matrice diagonale de taille m x n avec des valeurs singulières (ou valeurs propres) non négatives sur la diagonale, et V est une matrice orthogonale de taille n x n.
Cette décomposition permet de représenter la matrice A sous la forme A = UΣV^T, où T représente la transposée. Les valeurs singulières de Σ sont ordonnées de plus grande à plus petite, ce qui permet de les sélectionner selon leur importance pour diminuer la dimensionnalité de la matrice.
SVD trouve de nombreuses applications dans différents domaines. Par exemple, il peut être utilisé pour la compression d'images, la recommandation de produits dans les systèmes de recommandation, la réduction du bruit dans les signaux, la classification de texte, etc. Il permet également de résoudre des problèmes d'équations linéaires surdéterminées et de calculer la pseudo-inverse d'une matrice.
En résumé, SVD est une méthode puissante pour réduire la dimensionnalité des données, extraire des informations importantes et effectuer diverses opérations matricielles.
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