Qu'est-ce que isomorphisme ?

L'isomorphisme est une notion fondamentale en mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles et en algèbre. Il désigne une correspondance bijective (c'est-à-dire une bijection) entre deux structures mathématiques qui préserve les propriétés et les opérations pertinentes de ces structures. En d'autres termes, deux structures isomorphes sont essentiellement "la même chose" du point de vue de la théorie en question, même si elles peuvent être composées d'objets différents.

Plus formellement, un isomorphisme est une application bijective f : A → B entre deux ensembles A et B munis de certaines structures, telle que f et son inverse f^-1 préservent les relations et opérations définies sur A et B.

Voici quelques points importants :

• Bijectivité : L'application doit être à la fois injective (chaque élément de A est associé à un élément unique de B) et surjective (chaque élément de B est associé à au moins un élément de A).

• Préservation de la structure : C'est le point crucial. La définition précise de "structure" et de ce que signifie "préservation" dépend du contexte.

  • Dans la théorie des groupes, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Il préserve l'opération du groupe.
  • Dans la théorie des anneaux, un isomorphisme préserve à la fois l'addition et la multiplication.
  • En théorie des graphes, un isomorphisme préserve les relations d'adjacence (les arêtes).
  • En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme topologique. Il préserve les propriétés topologiques telles que la connexité et la compacité.

• Importance : L'isomorphisme permet d'identifier et de classifier des structures mathématiques. Si deux structures sont isomorphes, on peut transférer des résultats et des propriétés de l'une à l'autre.

• Exemples :

  • La fonction exponentielle f(x) = e^x est un isomorphisme entre le groupe additif des nombres réels (ℝ, +) et le groupe multiplicatif des nombres réels positifs (ℝ⁺, ×).
  • Deux graphes qui ont le même nombre de sommets et les mêmes relations d'adjacence sont isomorphes, même s'ils sont dessinés différemment.

Voici quelques liens pertinents vers des concepts liés :

• Homomorphisme
• Groupe (mathématiques)
• Anneau (mathématiques)
• Théorie des graphes
• Bijective